O esquema de cinco números (Tukey, 1977) e seu desenho esquemático.

Este é um modelo de representação de um conjunto de dados. Então, foram selecionados a quantidade $n$ de dados, o valor central, ou seja, a mediana $Md$, as juntas (ou quartis), no caso $J_1$ e $J_3$, além dos valores extremos mínimo e máximo. Estes números são organizados conforme a seguinte figura.

Temos, ainda, uma outra representação chamada de desenho esquemático (Morettin). Neste caso, A figura é a seguinte:

Nesta figura, podemos identificar os quartis ou juntas, sendo que $J_2=Md$. A figura, portanto, destacará o intervalo interquartil, de $J_1$ a $J_3$, portanto, a região em que estão concentrados a metade dos dados. O intervalo interquartil é calculado como $dj=J_3-J_1$. Os eventuais valores $x$ da figura (podem ser vários), são considerados valores discrepantes ou outliers. Na figura, são valores inferiores a $J_1-{\displaystyle \frac{3}{2}}dj$ e $J_3+{\displaystyle \frac{3}{2}}dj$. Este parâmetro, ${\displaystyle \frac{3}{2}}dj$ é oriundo de uma distribuição normal e serve para estabelecer um critério para discrepância. A linha que sai dos dois lados do retângulo serve para descrever os limites de dados não discrepantes. Assim, temos uma desenho representativo de um conjunto de dados.

Considere um sistema cartesiano ortogonal cuja origem O(0,0) é o centro da Terra e a unidade adotada nos eixos Ox e Oy é o km. No plano determinado por esses eixos, um satélite gira em órbita circular com centro O(0,0) e velocidade constante de 12.560 km/h, completando uma volta a cada 5 horas. Admitindo que π=3,14, apresente a equação da órbita desse satélite.

Como a órbita é circular, a equação será de uma circunferência cujo centro é o a origem $(0,0)$. Resta-nos apenas calcular o raio.

Como o satélite percorre uma volta em 5h à velocidade de 12560 km/h, podemos obter o comprimento da órbita. Teremos que o comprimento será $5\cdot 12560=62.800km$

Para calcularmos o raio tomamos a relação do comprimento da circunferência:

$$C=2\pi r$$

Logo, $62800=2\pi r\Rightarrow r={\displaystyle \frac{62800}{2\cdot \pi }}=10.000km$

A equação será então:

$$x^2+y^2=({10}^4{)}^2\Rightarrow x^2+y^2={10}^8$$

Uma circunferência de raio 5 passa pelo ponto A(0,4) e tem o centro C no eixo das abscissas. Obtenha a equação reduzida dessa circunferência.

 Se a circunferência passa pelo ponto $(0,4)$ e tem seu centro no eixo das abscissas, com raio $r=5$, há duas possibilidades para seu centro. Como esta construção nos lembra o mais famoso triângulo retângulo, o de lados, 3, 4 e 5, podemos usar esta informação para determinar rapidamente os dois centros possíveis que seriam $(3,0)$ e $(-3,0)$.

Agora, com o centro e o raio, podemos facilmente apresentar a equação reduzida da circunferência. Para isto, podemos partir da circunferência de centro na origem. Depois deslocamos a origem.

A equação da circunferência de raio $r$ e centro em $(0,0)$ é

$$x^2+y^2=r^2$$

Então temos de deslocar esta equação para o centro $(3,0)$ e raio $r=5$ o que nos leva a:

$$(x-3{)}^2+(y-0{)}^2=5^2\Rightarrow (x-3{)}^2+y^2=25$$

A outra situação é deslocar a mesma equação para o centro $(-3,0)$ e $r=5$, o que nos leva a:

$$(x+3{)}^2+(y-0{)}^2=5^2\Rightarrow (x+3{)}^2+y^2=25$$

Posições relativas entre duas circunferências no plano

Para analisarmos as possibilidades das posições relativas de duas circunferências num mesmo plano, podemos pensar assim: dadas duas circunferências, elas podem ter raios iguais ou diferentes. Suponhamos, inicialmente que tenham raios distintos. Sem perda de generalidade, consideremos a posição da circunferência de menor raio à direita. Teremos então a circunferência maior de raio $r_1$ e a menor de raio $r_2$, com $r_1>r_2$.

Podemos iniciar nossa análise, separando situações bem determinadas.

Vamos, então, considerar, inicialmente, que a distância entre seus centros seja maior que a soma dos seus raios. 

Podemos concluir que estas circunferências não terão nenhum ponto em comum.

$$d>r_1+r_2$$

Uma segunda situação bem definida seria aquela na qual a distância entre os centros é igual à soma dos raios. 

Neste caso, as circunferências serão tangentes e exteriores, ou seja, terão um único ponto em comum, além de serem exteriores.

$$d=r_1+r_2$$

Uma terceira situação seria colocar a circunferência menor para o interior da maior, na situação em que a diferença entre os raios é igual à distância entre os centros.

Neste caso, temos um único ponto em comum (tangência), sendo uma circunferência interior à outra.

$$d=r_1-r_2$$

Podemos ainda considerar a circunferência menor interna à circunferência maior sem qualquer ponto em comum. 

Nesta circunstância, podemos traçar um raio da circunferência maior que passa pelos dois centros das circunferências. Nesta situação, teremos 

$$r_1>d+r_2\Rightarrow r_1-r_2>d\Rightarrow d<r_1-r_2$$

Caso as circunferências sejam concêntricas, teremos $d=0$.

Restam ainda algumas situações a considerarmos. Vamos considerar, inicialmente, a situação em que a circunferência menor apresenta centro externo à maior com dois pontos em comum (secantes). 

Podemos notar que $r_1<d$, pois o centro da circunferência menor é externo e, ainda, $d<r_1+r_2$. Assim, elas são secantes.

Uma situação intermediária seria a que o centro da circunferência menor está na borda da circunferência maior. 

Neste caso, $r_1=d$, logo, $d<r_1+r_2$, e as circunferências serão secantes. Podemos notar ainda que se $r_1=d$ então $r_1-r_2<d$.

A terceira situação é considerarmos o centro da circunferência menor interior à circunferência maior, ainda com dois pontos em comum (secantes). 

Nesta situação, $d<r_1$ e, além disto, podemos formar um triângulo com os raios e o segmento entre os centros. Podemos concluir, por esta construção, que 

$$r_1<d+r_2\Rightarrow r_1-r_2<d$$

Nesta nossa análise, podemos resumir a situação de circunferências secantes da seguinte forma. Sem analisarmos a posição do centro da circunferência menor, podemos notar que não é suficiente a informação de que $d<r_1+r_2$ pois podemos ter, nesta circunstância, $d<r_1-r_2$, ou seja, circunferência interior sem pontos em comum.

Podemos concluir, então, que a condição para que as duas circunferências sejam secantes é dupla, conforme já visto antes, ou seja, 

$$r_1-r_2<d<r_1+e_2$$

A outra condição que separamos foi a de as circunferências terem raios iguais. Nesta sitaução, a única mudança é a possibilidade de as circunferências coincidirem totalmente. Nas demais situações, as conclusões são as mesmas.

Podemos, por fim, resumir nossa discussão assim:

$d>r_1+r_2\Rightarrow$ Circunferências exteriores disjuntas;

$d=r_1+r_2\Rightarrow$ Circunferências exteriores tangentes;

$r_1-r_2<d<r_1+r_2\Rightarrow$ Circunferências secantes;

$d=r_1-r_2\Rightarrow$ Circunferência interior tangente;

$d<r_1-r_2\Rightarrow$ Circunferência interior disjunta.

(IDECAN - Prof. EBTT) Dados dois pares ordenados (2,-4) e (2,0) que representam os vértices de um hipérbole de foco (2, -2 + √13), calcule a equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas.

 Inicialmente desenhamos nosso esboço de hipérbole.

Podemos notar que nossa hipérbole tem eixo vertical, logo é originária da hipérbole

$${\displaystyle \frac{y^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{x^2}{b^2}}=1$$

Lembrando que o $2a$ é sempre a distância entre os vértices, logo $2a=4\Rightarrow a=2$.

O $b$ sempre é o cateto perpendicular ao eixo, logo resta ao $c$ ser nossa hipotenusa. No caso, o $c$ é a distância, na reta, entre $\sqrt{13}-2$ ($\sqrt{13}$ está entre 3 e 4) e $-2$, ou seja, $c=\sqrt{13}-2-(-2)=\sqrt{13}$.

Desta forma, $b=\sqrt{13-4}=3$, por Pitágoras.

Então, vamos deslocar nossa equação duas unidades para baixo em relação ao eixo $y$, ou seja, adicionar 2; e duas unidades para a direita no eixo $x$, ou seja, subtrair 2. Com relação ao deslocamento do centro da hipérbole, teremos:

$${\displaystyle \frac{(y+2{)}^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{(x-2{)}^2}{b^2}}=1$$

Substituindo os valores de $a,b$ chegamos a

$${\displaystyle \frac{(y+2{)}^2}{2^2}}-{\displaystyle \frac{(x-2{)}^2}{3^2}}=1$$

Agora é transformar na equação geral...

$${\displaystyle \frac{(y+2{)}^2}{4}}-{\displaystyle \frac{(x-2{)}^2}{9}}=1\Rightarrow$$

$${\displaystyle \frac{y^2+4y+4}{4}}-{\displaystyle \frac{x^2-4x+4}{9}}=1\Rightarrow$$

$$9y^2+36y+36-4x^2+16x-16=36\Rightarrow$$

$$-4x^2+9y^2+16x+36y-16=0\Rightarrow$$

$$4x^2-9y^2-16x-36y+16=0$$

A parábola enquanto cônica

 

No caso da parábola, enquanto lugar geométrico da família das cônicas, dado um ponto $F$ e uma reta $r$, ela é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de $F$ (foco da parábola) e a reta $r$, chamada de reta diretriz da parábola.

Vamos iniciar nossa historinha desenhando uma parábola de vértice na origem e foco sobre o eixo $x$. A distância do foco até a origem, por onde passa a parábola, deve ser igual à distância da origem até a reta $r$. Logo, podemos já localizar a nossa reta $r$, perpendicular ao eixo $y$. Daí, chamamos à distância da origem ao foco de $c$, logo a distância da origem até a reta é também igual a $c$.

Já podemos determinar alguns parâmetros:

$c>0$

A reta será $r:x=-c$

$F(c,0)$

Agora, marcamos um ponto $P(x,y)$ qualquer sobre a parábola para, conforme a definição, desenvolvermos a equação do lugar geométrico.

Teremos então:

$d(P,F)=d(P,r)\Rightarrow$

$\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}=x+c\Rightarrow$

$x^2-2cx+c^2+y^2=x^2+2cx+c^2\Rightarrow$

$\cancel{x^2}-2cx+\cancel{c^2}+y^2=\cancel{x^2}+2cx+\cancel{c^2}\Rightarrow$

$$y^2=4cx$$

Eis então a equação!

Para deslocar esta equação para o centro $(h,q)$, fazemos:

$$(y-q{)}^2=4c(x-h)$$

Para inverter o gráfico, fazemos:

$$y^2=-4cx$$

E para deslocar este último gráfico ao centro $(h,q)$, fazemos:

$$(y-q{)}^2=-4c(x-h)$$

Por outro lado, para colocarmos o foco da parábola no eixo $y$, basta invertermos as variáveis:

Tomamos a equação $y^2=4cx$ e fazemos:

$$x^2=4cy$$

Neste caso, a concavidade é para cima.

Para deslocarmos o vértice para o ponto $(h,q)$, fazemos

$$(x-h{)}^2=4c(y-q)$$

Para invertermos a concavidade, temos:

$$x^2=-4cy$$

E, por fim, para deslocarmos o vértice ao ponto $(h,q)$, fazemos:

$$(x-h{)}^2=-4c(y-q)$$

Hipérbole

 

Dados dois pontos distintos numa reta, $F_1$ e $F_2$ Uma hipérbole será o lugar geométrico dos pontos cuja diferença das distâncias em valor absoluto é constante e menor que a distância entre $F_1$ e $F_2$.

Começamos com a hipérbole centrada na origem com focos sobre o eixo $x$. 

Para facilitar a construção sempre que desejar, pode-se iniciar com o desenho da hipérbole. Trace os eixos cartesianos e desenhe os dois ramos da hipérbole nele. Marque então os vértices $V_1$ e $V_2$. A exemplo do que fizemos na elipse, chamamos $V_1{V}_2$ de $2a$. Bom começo! Marcamos então os focos $F_1$ e $F_2$. Pegamos o segmento $(0,0)$ a $F_2$ e puxamos para cima a partir da origem, fazendo com que, imaginando, sua outra extremidade se arraste até o ponto $V_2$. Temos então o nosso triângulo retângulo. O cateto $b$ sempre é perpendicular a $V_1{V}_2$, logo, resta concluir que, desta vez, nossa hipotenusa será $c$ e teremos $c^2=a^2+b^2$. Esta é uma historinha básica para conduzir à construção da hipérbole. Agora, podemos também desenhar o retângulo que dará suporte às assintotas.

A partir do desenho, podemos deduzir as coisas e prosseguir.

Temos então que:

$a,b,c>0$

$c^2=a^2+b^2$

$F_1(-c,0)$

$F_2(c,0)$

Comecemos, pela definição.

  

$|P{F}_1-P{F}_2|=V_1{V}_2=2a$

Por conta do módulo, dizemos que $P{F}_1-P{F}_2=\pm 2a$

Assim, podemos prosseguir...

$\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}-\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}=\pm 2a\Rightarrow$

$\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}=\pm 2a+\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}\Rightarrow$

Elevamos ao quadrado...

$(x+c{)}^2+y^2=4a^2\pm 4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}+(x-c{)}^2+y^2\Rightarrow$

$x^2+2cx+c^2+y^2=4a^2+x^2-2cx+c^2+y^2\pm 4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}\Rightarrow$

$\cancel{x^2}+2cx+\cancel{c^2}+\cancel{y^2}=4a^2+\cancel{x^2}-2cx+\cancel{c^2}+\cancel{y^2}\pm 4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}\Rightarrow$

$4cx=4a^2\pm 4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}\Rightarrow$

$a^2-cx=\pm a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}\Rightarrow$

$a^4-2c{a}^{2}x+c^2{x}^2=a^2(x^2-2cx+c^2+y^2)\Rightarrow$

$a^4-2c{a}^{2}x+c^2{x}^2=a^2{x}^2-2c{a}^{2}x+a^2{c}^2+a^2{y}^2\Rightarrow$

$a^4\cancel{-2c{a}^{2}x}+c^2{x}^2=a^2{x}^2\cancel{-2c{a}^{2}x}+a^2{c}^2+a^2{y}^2\Rightarrow$

$a^4=x^2\underset{-b^2}{\underbrace{(a^2-c^2)}}+a^2{y}^2+a^2{c}^2\Rightarrow$

$a^4-a^2{c}^2=-b^2{x}^2+a^2{y}^2\Rightarrow$

$a^2\underset{-b^2}{\underbrace{(a^2-c^2)}}=b^2{x}^2+a^2{y}^2\Rightarrow$

$-a^2{b}^2=-b^2{x}^2+a^2{y}^2$

$a^2{b}^2=b^2{x}^2-a^2{y}^2$

O que fazemos agora é dividir tudo por $a^2{b}^2$ e chegamos a:

$${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$$

Se deslocarmos o centro da elipse do ponto $(0,0)$ para o ponto $(h,q)$ teremos:

$${\displaystyle \frac{(x-h{)}^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{(y-q{)}^2}{b^2}}=1$$

Para a elipse de eixo $V_1{V}_2$ sobre o eixo $y$ basta invertermos o $x$ pelo $y$, e teremos:

$${\displaystyle \frac{y^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{x^2}{b^2}}=1$$

E, por fim, se deslocarmos esta elipse para o centro $(h,q)$ chegaremos a:

$${\displaystyle \frac{(y-q{)}^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{(x-h{)}^2}{b^2}}=1$$