A Matemática dialogada : circunferência

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Considere um sistema cartesiano ortogonal cuja origem $O (0, 0)$ é o centro da Terra e a unidade adotada nos eixos $O x$ e $O y$ é o km. No plano determinado por esses eixos, um satélite gira em órbita circular com centro $O (0, 0)$ e velocidade constante de 12.560 km/h, completando uma volta a cada 5 horas. Admitindo que $π = 3, 14$ , apresente a equação da órbita desse satélite.

Como a órbita é circular, a equação será de uma circunferência cujo centro é o a origem $(0, 0)$ . Resta-nos apenas calcular o raio.

Como o satélite percorre uma volta em 5h à velocidade de 12560 km/h, podemos obter o comprimento da órbita. Teremos que o comprimento será $5 \cdot 12560 = 62.800 k m$

Para calcularmos o raio tomamos a relação do comprimento da circunferência:

$C = 2 π r$

Logo, $62800 = 2 π r \Rightarrow r = \frac{62800}{2 \cdot π} = 10.000 k m$

A equação será então:

$x^{2} + y^{2} = (10^{4})^{2} \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 10^{8}$

Uma circunferência de raio 5 passa pelo ponto $A (0, 4)$ e tem o centro $C$ no eixo das abscissas. Obtenha a equação reduzida dessa circunferência.

Se a circunferência passa pelo ponto $(0, 4)$ e tem seu centro no eixo das abscissas, com raio $r = 5$ , há duas possibilidades para seu centro. Como esta construção nos lembra o mais famoso triângulo retângulo, o de lados, 3, 4 e 5, podemos usar esta informação para determinar rapidamente os dois centros possíveis que seriam $(3, 0)$ e $(- 3, 0)$ .

Agora, com o centro e o raio, podemos facilmente apresentar a equação reduzida da circunferência. Para isto, podemos partir da circunferência de centro na origem. Depois deslocamos a origem.

A equação da circunferência de raio $r$ e centro em $(0, 0)$ é

$x^{2} + y^{2} = r^{2}$

Então temos de deslocar esta equação para o centro $(3, 0)$ e raio $r = 5$ o que nos leva a:

$(x - 3)^{2} + (y - 0)^{2} = 5^{2} \Rightarrow (x - 3)^{2} + y^{2} = 25$

A outra situação é deslocar a mesma equação para o centro $(- 3, 0)$ e $r = 5$ , o que nos leva a:

$(x + 3)^{2} + (y - 0)^{2} = 5^{2} \Rightarrow (x + 3)^{2} + y^{2} = 25$

Posições relativas entre duas circunferências no plano

Para analisarmos as possibilidades das posições relativas de duas circunferências num mesmo plano, podemos pensar assim: dadas duas circunferências, elas podem ter raios iguais ou diferentes. Suponhamos, inicialmente que tenham raios distintos. Sem perda de generalidade, consideremos a posição da circunferência de menor raio à direita. Teremos então a circunferência maior de raio $r_{1}$ e a menor de raio $r_{2}$ , com $r_{1} > r_{2}$ .

Podemos iniciar nossa análise, separando situações bem determinadas.

Vamos, então, considerar, inicialmente, que a distância entre seus centros seja maior que a soma dos seus raios.

Podemos concluir que estas circunferências não terão nenhum ponto em comum.

$d > r_{1} + r_{2}$

Uma segunda situação bem definida seria aquela na qual a distância entre os centros é igual à soma dos raios.

Neste caso, as circunferências serão tangentes e exteriores, ou seja, terão um único ponto em comum, além de serem exteriores.

$d = r_{1} + r_{2}$

Uma terceira situação seria colocar a circunferência menor para o interior da maior, na situação em que a diferença entre os raios é igual à distância entre os centros.

Neste caso, temos um único ponto em comum (tangência), sendo uma circunferência interior à outra.

$d = r_{1} - r_{2}$

Podemos ainda considerar a circunferência menor interna à circunferência maior sem qualquer ponto em comum.

Nesta circunstância, podemos traçar um raio da circunferência maior que passa pelos dois centros das circunferências. Nesta situação, teremos

$r_{1} > d + r_{2} \Rightarrow r_{1} - r_{2} > d \Rightarrow d < r_{1} - r_{2}$

Caso as circunferências sejam concêntricas, teremos $d = 0$ .

Restam ainda algumas situações a considerarmos. Vamos considerar, inicialmente, a situação em que a circunferência menor apresenta centro externo à maior com dois pontos em comum (secantes).

Podemos notar que $r_{1} < d$ , pois o centro da circunferência menor é externo e, ainda, $d < r_{1} + r_{2}$ . Assim, elas são secantes.

Uma situação intermediária seria a que o centro da circunferência menor está na borda da circunferência maior.

Neste caso, $r_{1} = d$ , logo, $d < r_{1} + r_{2}$ , e as circunferências serão secantes. Podemos notar ainda que se $r_{1} = d$ então $r_{1} - r_{2} < d$ .

A terceira situação é considerarmos o centro da circunferência menor interior à circunferência maior, ainda com dois pontos em comum (secantes).

Nesta situação, $d < r_{1}$ e, além disto, podemos formar um triângulo com os raios e o segmento entre os centros. Podemos concluir, por esta construção, que

$r_{1} < d + r_{2} \Rightarrow r_{1} - r_{2} < d$

Nesta nossa análise, podemos resumir a situação de circunferências secantes da seguinte forma. Sem analisarmos a posição do centro da circunferência menor, podemos notar que não é suficiente a informação de que $d < r_{1} + r_{2}$ pois podemos ter, nesta circunstância, $d < r_{1} - r_{2}$ , ou seja, circunferência interior sem pontos em comum.

Podemos concluir, então, que a condição para que as duas circunferências sejam secantes é dupla, conforme já visto antes, ou seja,

$r_{1} - r_{2} < d < r_{1} + e_{2}$

A outra condição que separamos foi a de as circunferências terem raios iguais. Nesta sitaução, a única mudança é a possibilidade de as circunferências coincidirem totalmente. Nas demais situações, as conclusões são as mesmas.

Podemos, por fim, resumir nossa discussão assim:

$d > r_{1} + r_{2} \Rightarrow$ Circunferências exteriores disjuntas;

$d = r_{1} + r_{2} \Rightarrow$ Circunferências exteriores tangentes;

$r_{1} - r_{2} < d < r_{1} + r_{2} \Rightarrow$ Circunferências secantes;

$d = r_{1} - r_{2} \Rightarrow$ Circunferência interior tangente;

$d < r_{1} - r_{2} \Rightarrow$ Circunferência interior disjunta.

Equação reduzida e equação geral da circunferência

A circunferência é o lugar geométrico dos pontos equidistantes a um único ponto dado.

Vamos iniciar com a circunferência no centro do eixo cartesiano. Então, a equação que determina todos os seus pontos é dedutível via Teorema de Pitágoras, em que $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ , onde $r$ é o raio da circunferência.

Para termos a equação da circunferência cujo centro é o ponto $(a, b)$ , basta deslocarmos a equação do lugar geométrico no centro $(0, 0)$ para o centro $(a, b)$ e teremos:

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

Esta equação que é deduzida via Teorema de Pitágoras é chamada de equação reduzida da circunferência.

Se desenvolvemos esta expressão, vamos chegar à equação geral da circunferência. Vamos lá!

$x^{2} - 2 a x + a^{2} + y^{2} - 2 b y + b^{2} = r^{2}$

Logo, a equação geral da circunferência será:

$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + a^{2} + b^{2} - r^{2} = 0$

A Matemática dialogada

Uma circunferência de raio 5 passa pelo ponto $A (0, 4)$ e tem o centro $C$ no eixo das abscissas. Obtenha a equação reduzida dessa circunferência.

Posições relativas entre duas circunferências no plano

Equação reduzida e equação geral da circunferência

O esquema de cinco números (Tukey, 1977) e seu desenho esquemático.

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Uma circunferência de raio 5 passa pelo ponto A(0,4) e tem o centro C no eixo das abscissas. Obtenha a equação reduzida dessa circunferência.

Posições relativas entre duas circunferências no plano

Equação reduzida e equação geral da circunferência

O esquema de cinco números (Tukey, 1977) e seu desenho esquemático.

Uma circunferência de raio 5 passa pelo ponto $A (0, 4)$ e tem o centro $C$ no eixo das abscissas. Obtenha a equação reduzida dessa circunferência.