Hipérbole

 

Dados dois pontos distintos numa reta, $F_1$ e $F_2$ Uma hipérbole será o lugar geométrico dos pontos cuja diferença das distâncias em valor absoluto é constante e menor que a distância entre $F_1$ e $F_2$.

Começamos com a hipérbole centrada na origem com focos sobre o eixo $x$. 

Para facilitar a construção sempre que desejar, pode-se iniciar com o desenho da hipérbole. Trace os eixos cartesianos e desenhe os dois ramos da hipérbole nele. Marque então os vértices $V_1$ e $V_2$. A exemplo do que fizemos na elipse, chamamos $V_1{V}_2$ de $2a$. Bom começo! Marcamos então os focos $F_1$ e $F_2$. Pegamos o segmento $(0,0)$ a $F_2$ e puxamos para cima a partir da origem, fazendo com que, imaginando, sua outra extremidade se arraste até o ponto $V_2$. Temos então o nosso triângulo retângulo. O cateto $b$ sempre é perpendicular a $V_1{V}_2$, logo, resta concluir que, desta vez, nossa hipotenusa será $c$ e teremos $c^2=a^2+b^2$. Esta é uma historinha básica para conduzir à construção da hipérbole. Agora, podemos também desenhar o retângulo que dará suporte às assintotas.

A partir do desenho, podemos deduzir as coisas e prosseguir.

Temos então que:

$a,b,c>0$

$c^2=a^2+b^2$

$F_1(-c,0)$

$F_2(c,0)$

Comecemos, pela definição.

  

$|P{F}_1-P{F}_2|=V_1{V}_2=2a$

Por conta do módulo, dizemos que $P{F}_1-P{F}_2=\pm 2a$

Assim, podemos prosseguir...

$\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}-\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}=\pm 2a\Rightarrow$

$\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}=\pm 2a+\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}\Rightarrow$

Elevamos ao quadrado...

$(x+c{)}^2+y^2=4a^2\pm 4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}+(x-c{)}^2+y^2\Rightarrow$

$x^2+2cx+c^2+y^2=4a^2+x^2-2cx+c^2+y^2\pm 4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}\Rightarrow$

$\cancel{x^2}+2cx+\cancel{c^2}+\cancel{y^2}=4a^2+\cancel{x^2}-2cx+\cancel{c^2}+\cancel{y^2}\pm 4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}\Rightarrow$

$4cx=4a^2\pm 4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}\Rightarrow$

$a^2-cx=\pm a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}\Rightarrow$

$a^4-2c{a}^{2}x+c^2{x}^2=a^2(x^2-2cx+c^2+y^2)\Rightarrow$

$a^4-2c{a}^{2}x+c^2{x}^2=a^2{x}^2-2c{a}^{2}x+a^2{c}^2+a^2{y}^2\Rightarrow$

$a^4\cancel{-2c{a}^{2}x}+c^2{x}^2=a^2{x}^2\cancel{-2c{a}^{2}x}+a^2{c}^2+a^2{y}^2\Rightarrow$

$a^4=x^2\underset{-b^2}{\underbrace{(a^2-c^2)}}+a^2{y}^2+a^2{c}^2\Rightarrow$

$a^4-a^2{c}^2=-b^2{x}^2+a^2{y}^2\Rightarrow$

$a^2\underset{-b^2}{\underbrace{(a^2-c^2)}}=b^2{x}^2+a^2{y}^2\Rightarrow$

$-a^2{b}^2=-b^2{x}^2+a^2{y}^2$

$a^2{b}^2=b^2{x}^2-a^2{y}^2$

O que fazemos agora é dividir tudo por $a^2{b}^2$ e chegamos a:

$${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$$

Se deslocarmos o centro da elipse do ponto $(0,0)$ para o ponto $(h,q)$ teremos:

$${\displaystyle \frac{(x-h{)}^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{(y-q{)}^2}{b^2}}=1$$

Para a elipse de eixo $V_1{V}_2$ sobre o eixo $y$ basta invertermos o $x$ pelo $y$, e teremos:

$${\displaystyle \frac{y^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{x^2}{b^2}}=1$$

E, por fim, se deslocarmos esta elipse para o centro $(h,q)$ chegaremos a:

$${\displaystyle \frac{(y-q{)}^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{(x-h{)}^2}{b^2}}=1$$