Posições relativas entre duas circunferências no plano

Para analisarmos as possibilidades das posições relativas de duas circunferências num mesmo plano, podemos pensar assim: dadas duas circunferências, elas podem ter raios iguais ou diferentes. Suponhamos, inicialmente que tenham raios distintos. Sem perda de generalidade, consideremos a posição da circunferência de menor raio à direita. Teremos então a circunferência maior de raio $r_1$ e a menor de raio $r_2$, com $r_1>r_2$.

Podemos iniciar nossa análise, separando situações bem determinadas.

Vamos, então, considerar, inicialmente, que a distância entre seus centros seja maior que a soma dos seus raios. 

Podemos concluir que estas circunferências não terão nenhum ponto em comum.

$$d>r_1+r_2$$

Uma segunda situação bem definida seria aquela na qual a distância entre os centros é igual à soma dos raios. 

Neste caso, as circunferências serão tangentes e exteriores, ou seja, terão um único ponto em comum, além de serem exteriores.

$$d=r_1+r_2$$

Uma terceira situação seria colocar a circunferência menor para o interior da maior, na situação em que a diferença entre os raios é igual à distância entre os centros.

Neste caso, temos um único ponto em comum (tangência), sendo uma circunferência interior à outra.

$$d=r_1-r_2$$

Podemos ainda considerar a circunferência menor interna à circunferência maior sem qualquer ponto em comum. 

Nesta circunstância, podemos traçar um raio da circunferência maior que passa pelos dois centros das circunferências. Nesta situação, teremos 

$$r_1>d+r_2\Rightarrow r_1-r_2>d\Rightarrow d<r_1-r_2$$

Caso as circunferências sejam concêntricas, teremos $d=0$.

Restam ainda algumas situações a considerarmos. Vamos considerar, inicialmente, a situação em que a circunferência menor apresenta centro externo à maior com dois pontos em comum (secantes). 

Podemos notar que $r_1<d$, pois o centro da circunferência menor é externo e, ainda, $d<r_1+r_2$. Assim, elas são secantes.

Uma situação intermediária seria a que o centro da circunferência menor está na borda da circunferência maior. 

Neste caso, $r_1=d$, logo, $d<r_1+r_2$, e as circunferências serão secantes. Podemos notar ainda que se $r_1=d$ então $r_1-r_2<d$.

A terceira situação é considerarmos o centro da circunferência menor interior à circunferência maior, ainda com dois pontos em comum (secantes). 

Nesta situação, $d<r_1$ e, além disto, podemos formar um triângulo com os raios e o segmento entre os centros. Podemos concluir, por esta construção, que 

$$r_1<d+r_2\Rightarrow r_1-r_2<d$$

Nesta nossa análise, podemos resumir a situação de circunferências secantes da seguinte forma. Sem analisarmos a posição do centro da circunferência menor, podemos notar que não é suficiente a informação de que $d<r_1+r_2$ pois podemos ter, nesta circunstância, $d<r_1-r_2$, ou seja, circunferência interior sem pontos em comum.

Podemos concluir, então, que a condição para que as duas circunferências sejam secantes é dupla, conforme já visto antes, ou seja, 

$$r_1-r_2<d<r_1+e_2$$

A outra condição que separamos foi a de as circunferências terem raios iguais. Nesta sitaução, a única mudança é a possibilidade de as circunferências coincidirem totalmente. Nas demais situações, as conclusões são as mesmas.

Podemos, por fim, resumir nossa discussão assim:

$d>r_1+r_2\Rightarrow$ Circunferências exteriores disjuntas;

$d=r_1+r_2\Rightarrow$ Circunferências exteriores tangentes;

$r_1-r_2<d<r_1+r_2\Rightarrow$ Circunferências secantes;

$d=r_1-r_2\Rightarrow$ Circunferência interior tangente;

$d<r_1-r_2\Rightarrow$ Circunferência interior disjunta.