Elipse

 

Dados dois pontos $F_1$ e $F_2$ no plano, chamamos de Elipse o lugar geométrico dos pontos $P$ cuja soma das distâncias $P{F}_1+P{F}_2$ é constante e diferente da distância $F_1{F}_2$.

Começemos pela elipse centrada na origem com $V_1{V}_2$ sobre o eixo $x$.

Uma dica pra facilitar a construção da elipse é usar o ponto $V_2$ como suporte para concluir, conforme a definição, que $F_1{V}_2+F_2{V}_2=V_1{V}_2$. Assim, começa nossa historinha! Ao segmento $V_1{V}_2$ a gente chama de $2a$. Começamos por aqui. Logo, da origem $(0,0)$ a $V_2$ temos $a$. Então, imaginamos elevando o segmento $a$ a partir da origem até o ponto da elipse no eixo $y$, fazendo com que a sua outra estremidade se arraste até o ponto $F_2$ e chegamos à figurinha do triângulo retângulo. Nesta figura, $b$ sempre é o cateto perpendicular a $V_1{V}_2$. Já conseguimos, então, enxergar um triângulo retânculo, só falta dar nome ao outro cateto. Assim, por último, chamamos o segmento da origem até $F_2$ de $c$. Temos, então, um triângulo retângulo com $a^2=b^2+c^2$.

A partir desta construção inicial, podemos prosseguir, ora deduzindo, ora nos lembrando dos elementos da figura.

Dados: 

$F_1{F}_2=2c$

$V_1{V}_2=2a$

$a^2=b^2+c^2$

Construção

$P{F}_1+P{F}_2=V_1{V}_2=2a$

Dados:

$a,b,c>0$

Pontos:

$F_1(-c,0)$

$F_2(c,0)$

$P(x,y)$

$P{F}_1+P{F}_2=2a\Rightarrow$

$\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}=2a\Rightarrow$ 

$\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}\Rightarrow$

Elevando ao quadrado ambos os membros, teremos:

$(x+c{)}^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}+(x-c{)}^2+y^2\Rightarrow$

$x^2+2cx+c^2+y^2=4a^2+x^2-2cx+c^2+y^2-4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}\Rightarrow$

$\cancel{x^2}+2cx+\cancel{c^2}+\cancel{y^2}=4a^2+\cancel{x^2}-2cx+\cancel{c^2}+\cancel{y^2}-4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}\Rightarrow$

$4cx=4a^2-4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}\Rightarrow$

$cx=a^2-a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}\Rightarrow$

$a^2-cx=a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}\Rightarrow$

$a^4-2c{a}^{2}x+c^2{x}^2=a^2(x^2-2cx+c^2+y^2)\Rightarrow$

$a^4-2c{a}^{2}x+c^2{x}^2=a^2{x}^2-2c{a}^{2}x+a^2{c}^2+a^2{y}^2\Rightarrow$

$a^4\cancel{-2c{a}^{2}x}+c^2{x}^2=a^2{x}^2\cancel{-2c{a}^{2}x}+a^2{c}^2+a^2{y}^2\Rightarrow$

$a^4=x^2\underset{b^2}{\underbrace{(a^2-c^2)}}+a^2{y}^2+a^2{c}^2\Rightarrow$

$a^4-a^2{c}^2=b^2{x}^2+a^2{y}^2\Rightarrow$

$a^2\underset{b^2}{\underbrace{(a^2-c^2)}}=b^2{x}^2+a^2{y}^2\Rightarrow$

$a^2{b}^2=b^2{x}^2+a^2{y}^2$

O que fazemos agora é dividir tudo por $a^2{b}^2$ e chegamos a:

$${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$$

Se deslocarmos o centro da elipse do ponto $(0,0)$ para o ponto $(h,q)$ teremos:

$${\displaystyle \frac{(x-h{)}^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{(y-q{)}^2}{b^2}}=1$$

Para a elipse de eixo $V_1{V}_2$ sobre o eixo $y$ basta invertermos o $x$ pelo $y$, e teremos:

$${\displaystyle \frac{y^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{x^2}{b^2}}=1$$

E, por fim, se deslocarmos esta elipse para o centro $(h,q)$ chegaremos a:

$${\displaystyle \frac{(y-q{)}^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{(x-h{)}^2}{b^2}}=1$$