Elipse

 

Dados dois pontos $F_1$ e $F_2$ no plano, chamamos de Elipse o lugar geométrico dos pontos $P$ cuja soma das distâncias $PF_1 + PF_2$ é constante e diferente da distância $F_1F_2$.

Começemos pela elipse centrada na origem com $V_1V_2$ sobre o eixo $x$.

Uma dica pra facilitar a construção da elipse é usar o ponto $V_2$ como suporte para concluir, conforme a definição, que $F_1V_2 + F_2V_2=V_1V_2$. Assim, começa nossa historinha! Ao segmento $V_1V_2$ a gente chama de $2a$. Começamos por aqui. Logo, da origem $(0,0)$ a $V_2$ temos $a$. Então, imaginamos elevando o segmento $a$ a partir da origem até o ponto da elipse no eixo $y$, fazendo com que a sua outra estremidade se arraste até o ponto $F_2$ e chegamos à figurinha do triângulo retângulo. Nesta figura, $b$ sempre é o cateto perpendicular a $V_1V_2$. Já conseguimos, então, enxergar um triângulo retânculo, só falta dar nome ao outro cateto. Assim, por último, chamamos o segmento da origem até $F_2$ de $c$. Temos, então, um triângulo retângulo com $a^2 = b^2 + c^2$.

A partir desta construção inicial, podemos prosseguir, ora deduzindo, ora nos lembrando dos elementos da figura.

Dados: 

$F_1F_2 = 2c$

$V_1V_2 = 2a$

$a^2 = b^2 + c^2$

Construção

$PF_1 + PF_2 = V_1V_2 = 2a$

Dados:

$a,b,c>0$

Pontos:

$F_1(-c,0)$

$F_2(c,0)$

$P(x,y)$

$PF_1 + PF_2 = 2a \Rightarrow$

$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a \Rightarrow$ 

$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x-c)^2 + y^2} \Rightarrow$

Elevando ao quadrado ambos os membros, teremos:

$(x+c)^2 + y^2 = 4a^2 -4a\sqrt{(x-c)^2 + y^2} + (x-c)^2 + y^2 \Rightarrow$

$x^2 + 2cx + c^2 + y^2 = 4a^2 + x^2 -2cx + c^2 + y^2 -4a\sqrt{(x-c)^2 + y^2} \Rightarrow$

$\cancel{x^2} + 2cx + \cancel{c^2} + \cancel{y^2} = 4a^2 + \cancel{x^2} -2cx + \cancel{c^2} + \cancel{y^2} -4a\sqrt{(x-c)^2 + y^2} \Rightarrow$

$4cx = 4a^2 -4a\sqrt{(x-c)^2 + y^2} \Rightarrow $

$cx = a^2 -a\sqrt{(x-c)^2 + y^2} \Rightarrow  $

$a^2 - cx = a\sqrt{(x-c)^2 + y^2} \Rightarrow $

$a^4 -2ca^2x + c^2x^2 = a^2(x^2 - 2cx + c^2 + y^2)\Rightarrow$

$a^4 -2ca^2x + c^2x^2 = a^2x^2 -2ca^2x + a^2c^2 + a^2y^2\Rightarrow$

$a^4 \cancel{-2ca^2x} + c^2x^2 = a^2x^2 \cancel{-2ca^2x} + a^2c^2 + a^2y^2\Rightarrow$

$a^4 = x^2\underbrace{(a^2 - c^2)}_{b^2} + a^2y^2 + a^2c^2 \Rightarrow$

$a^4 - a^2c^2 = b^2x^2 + a^2y^2 \Rightarrow$

$a^2\underbrace{(a^2 - c^2)}_{b^2} = b^2x^2 + a^2y^2 \Rightarrow$

$a^2b^2 = b^2x^2 + a^2y^2$

O que fazemos agora é dividir tudo por $a^2b^2$ e chegamos a:

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$

Se deslocarmos o centro da elipse do ponto $(0,0)$ para o ponto $(h,q)$ teremos:

$$\dfrac{(x-h)^2}{a^2} + \dfrac{(y-q)^2}{b^2} = 1$$

Para a elipse de eixo $V_1V_2$ sobre o eixo $y$ basta invertermos o $x$ pelo $y$, e teremos:

$$\dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2} = 1$$

E, por fim, se deslocarmos esta elipse para o centro $(h,q)$ chegaremos a:

$$\dfrac{(y-q)^2}{a^2} + \dfrac{(x-h)^2}{b^2} = 1$$