(IDECAN - Prof. EBTT) Dados dois pares ordenados (2,-4) e (2,0) que representam os vértices de um hipérbole de foco (2, -2 + √13), calcule a equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas.

 Inicialmente desenhamos nosso esboço de hipérbole.

Podemos notar que nossa hipérbole tem eixo vertical, logo é originária da hipérbole

$${\displaystyle \frac{y^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{x^2}{b^2}}=1$$

Lembrando que o $2a$ é sempre a distância entre os vértices, logo $2a=4\Rightarrow a=2$.

O $b$ sempre é o cateto perpendicular ao eixo, logo resta ao $c$ ser nossa hipotenusa. No caso, o $c$ é a distância, na reta, entre $\sqrt{13}-2$ ($\sqrt{13}$ está entre 3 e 4) e $-2$, ou seja, $c=\sqrt{13}-2-(-2)=\sqrt{13}$.

Desta forma, $b=\sqrt{13-4}=3$, por Pitágoras.

Então, vamos deslocar nossa equação duas unidades para baixo em relação ao eixo $y$, ou seja, adicionar 2; e duas unidades para a direita no eixo $x$, ou seja, subtrair 2. Com relação ao deslocamento do centro da hipérbole, teremos:

$${\displaystyle \frac{(y+2{)}^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{(x-2{)}^2}{b^2}}=1$$

Substituindo os valores de $a,b$ chegamos a

$${\displaystyle \frac{(y+2{)}^2}{2^2}}-{\displaystyle \frac{(x-2{)}^2}{3^2}}=1$$

Agora é transformar na equação geral...

$${\displaystyle \frac{(y+2{)}^2}{4}}-{\displaystyle \frac{(x-2{)}^2}{9}}=1\Rightarrow$$

$${\displaystyle \frac{y^2+4y+4}{4}}-{\displaystyle \frac{x^2-4x+4}{9}}=1\Rightarrow$$

$$9y^2+36y+36-4x^2+16x-16=36\Rightarrow$$

$$-4x^2+9y^2+16x+36y-16=0\Rightarrow$$

$$4x^2-9y^2-16x-36y+16=0$$