(IDECAN - Prof. EBTT) Dados dois pares ordenados (2,-4) e (2,0) que representam os vértices de um hipérbole de foco (2, -2 + √13), calcule a equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas.

 Inicialmente desenhamos nosso esboço de hipérbole.

Podemos notar que nossa hipérbole tem eixo vertical, logo é originária da hipérbole

$$\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2}=1$$

Lembrando que o $2a$ é sempre a distância entre os vértices, logo $2a = 4 \Rightarrow a = 2$.

O $b$ sempre é o cateto perpendicular ao eixo, logo resta ao $c$ ser nossa hipotenusa. No caso, o $c$ é a distância, na reta, entre $\sqrt{13} - 2$ ($\sqrt{13}$ está entre 3 e 4) e $-2$, ou seja, $c = \sqrt{13} - 2 -(-2) = \sqrt{13}$.

Desta forma, $b = \sqrt{13 - 4} = 3$, por Pitágoras.

Então, vamos deslocar nossa equação duas unidades para baixo em relação ao eixo $y$, ou seja, adicionar 2; e duas unidades para a direita no eixo $x$, ou seja, subtrair 2. Com relação ao deslocamento do centro da hipérbole, teremos:

$$\dfrac{(y+2)^2}{a^2} - \dfrac{(x-2)^2}{b^2} = 1$$

Substituindo os valores de $a,b$ chegamos a

$$\dfrac{(y+2)^2}{2^2} - \dfrac{(x-2)^2}{3^2} = 1$$

Agora é transformar na equação geral...

$$\dfrac{(y+2)^2}{4} - \dfrac{(x-2)^2}{9} = 1 \Rightarrow$$

$$\dfrac{y^2 + 4y + 4}{4} - \dfrac{x^2 - 4x + 4}{9} = 1 \Rightarrow$$

$$9y^2 + 36y + 36 - 4x^2 + 16x - 16 = 36 \Rightarrow$$

$$-4x^2 + 9y^2 + 16x + 36y - 16 = 0 \Rightarrow$$

$$4x^2 - 9y^2 - 16x - 36y + 16 = 0$$