No caso da parábola, enquanto lugar geométrico da família das cônicas, dado um ponto $F$ e uma reta $r$, ela é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de $F$ (foco da parábola) e a reta $r$, chamada de reta diretriz da parábola.
Vamos iniciar nossa historinha desenhando uma parábola de vértice na origem e foco sobre o eixo $x$. A distância do foco até a origem, por onde passa a parábola, deve ser igual à distância da origem até a reta $r$. Logo, podemos já localizar a nossa reta $r$, perpendicular ao eixo $y$. Daí, chamamos à distância da origem ao foco de $c$, logo a distância da origem até a reta é também igual a $c$.
Já podemos determinar alguns parâmetros:
$c > 0$
A reta será $r: x = -c$
$F(c,0)$
Agora, marcamos um ponto $P(x,y)$ qualquer sobre a parábola para, conforme a definição, desenvolvermos a equação do lugar geométrico.
Teremos então:
$d(P,F) = d(P,r) \Rightarrow$
$\sqrt{(x-c)^2 + y^2} = x + c \Rightarrow$
$x^2 -2cx + c^2 + y^2 = x^2 + 2cx + c^2 \Rightarrow $
$\cancel{x^2} -2cx + \cancel{c^2} + y^2 = \cancel{x^2} + 2cx + \cancel{c^2} \Rightarrow $
$$y^2 = 4cx$$
Eis então a equação!
Para deslocar esta equação para o centro $(h,q)$, fazemos:
$$(y-q)^2 = 4c(x-h)$$
Para inverter o gráfico, fazemos:
$$y^2 = -4cx$$
E para deslocar este último gráfico ao centro $(h,q)$, fazemos:
$$(y-q)^2 = -4c(x-h)$$
Por outro lado, para colocarmos o foco da parábola no eixo $y$, basta invertermos as variáveis:
Tomamos a equação $y^2 = 4cx$ e fazemos:
$$x^2 = 4cy$$
Neste caso, a concavidade é para cima.
Para deslocarmos o vértice para o ponto $(h,q)$, fazemos
$$(x-h)^2 = 4c(y-q)$$
Para invertermos a concavidade, temos:
$$x^2 = -4cy$$
E, por fim, para deslocarmos o vértice ao ponto $(h,q)$, fazemos:
$$(x-h)^2 = -4c(y-q)$$
