Dados dois pontos distintos numa reta, $F_1$ e $F_2$ Uma hipérbole será o lugar geométrico dos pontos cuja diferença das distâncias em valor absoluto é constante e menor que a distância entre $F_1$ e $F_2$.
Começamos com a hipérbole centrada na origem com focos sobre o eixo $x$.
Para facilitar a construção sempre que desejar, pode-se iniciar com o desenho da hipérbole. Trace os eixos cartesianos e desenhe os dois ramos da hipérbole nele. Marque então os vértices $V_1$ e $V_2$. A exemplo do que fizemos na elipse, chamamos $V_1V_2$ de $2a$. Bom começo! Marcamos então os focos $F_1$ e $F_2$. Pegamos o segmento $(0,0)$ a $F_2$ e puxamos para cima a partir da origem, fazendo com que, imaginando, sua outra extremidade se arraste até o ponto $V_2$. Temos então o nosso triângulo retângulo. O cateto $b$ sempre é perpendicular a $V_1V_2$, logo, resta concluir que, desta vez, nossa hipotenusa será $c$ e teremos $c^2 = a^2 + b^2$. Esta é uma historinha básica para conduzir à construção da hipérbole. Agora, podemos também desenhar o retângulo que dará suporte às assintotas.
A partir do desenho, podemos deduzir as coisas e prosseguir.
Temos então que:
$a,b,c > 0$
$c^2 = a^2 + b^2$
$F_1(-c,0)$
$F_2(c,0)$
Comecemos, pela definição.
$|PF_1 - PF_2| = V_1V_2 = 2a$
Por conta do módulo, dizemos que $PF_1 - PF_2 = \pm 2a$
Assim, podemos prosseguir...
$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} - \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = \pm 2a \Rightarrow$
$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} = \pm 2a + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} \Rightarrow$
Elevamos ao quadrado...
$(x+c)^2 + y^2 = 4a^2 \pm 4a\sqrt{(x-c)^2 + y^2} + (x-c)^2 + y^2 \Rightarrow$
$x^2 + 2cx + c^2 + y^2 = 4a^2 + x^2 -2cx + c^2 + y^2 \pm 4a\sqrt{(x-c)^2 + y^2} \Rightarrow$
$\cancel{x^2} + 2cx + \cancel{c^2} + \cancel{y^2} = 4a^2 + \cancel{x^2} -2cx + \cancel{c^2} + \cancel{y^2} \pm4a\sqrt{(x-c)^2 + y^2} \Rightarrow$
$4cx = 4a^2 \pm 4a\sqrt{(x-c)^2 + y^2} \Rightarrow $
$a^2 - cx = \pm a\sqrt{(x-c)^2 + y^2} \Rightarrow $
$a^4 -2ca^2x + c^2x^2 = a^2(x^2 - 2cx + c^2 + y^2)\Rightarrow$
$a^4 -2ca^2x + c^2x^2 = a^2x^2 -2ca^2x + a^2c^2 + a^2y^2\Rightarrow$
$a^4 \cancel{-2ca^2x} + c^2x^2 = a^2x^2 \cancel{-2ca^2x} + a^2c^2 + a^2y^2\Rightarrow$
$a^4 = x^2\underbrace{(a^2 - c^2)}_{-b^2} + a^2y^2 + a^2c^2 \Rightarrow$
$a^4 - a^2c^2 = -b^2x^2 + a^2y^2 \Rightarrow$
$a^2\underbrace{(a^2 - c^2)}_{-b^2} = b^2x^2 + a^2y^2 \Rightarrow$
$-a^2b^2 = -b^2x^2 + a^2y^2$
$a^2b^2 = b^2x^2 - a^2y^2$
O que fazemos agora é dividir tudo por $a^2b^2$ e chegamos a:
$$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$
Se deslocarmos o centro da elipse do ponto $(0,0)$ para o ponto $(h,q)$ teremos:
$$\dfrac{(x-h)^2}{a^2} - \dfrac{(y-q)^2}{b^2} = 1$$
Para a elipse de eixo $V_1V_2$ sobre o eixo $y$ basta invertermos o $x$ pelo $y$, e teremos:
$$\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1$$
E, por fim, se deslocarmos esta elipse para o centro $(h,q)$ chegaremos a:
$$\dfrac{(y-q)^2}{a^2} - \dfrac{(x-h)^2}{b^2} = 1$$
