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(IDECAN - Prof. EBTT) Dados dois pares ordenados (2,-4) e (2,0) que representam os vértices de um hipérbole de foco (2, -2 + √13), calcule a equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas.

 Inicialmente desenhamos nosso esboço de hipérbole.


Podemos notar que nossa hipérbole tem eixo vertical, logo é originária da hipérbole

y2a2x2b2=1

Lembrando que o 2a é sempre a distância entre os vértices, logo 2a=4a=2.

O b sempre é o cateto perpendicular ao eixo, logo resta ao c ser nossa hipotenusa. No caso, o c é a distância, na reta, entre 132 (13 está entre 3 e 4) e 2, ou seja, c=132(2)=13.

Desta forma, b=134=3, por Pitágoras.

Então, vamos deslocar nossa equação duas unidades para baixo em relação ao eixo y, ou seja, adicionar 2; e duas unidades para a direita no eixo x, ou seja, subtrair 2. Com relação ao deslocamento do centro da hipérbole, teremos:

(y+2)2a2(x2)2b2=1

Substituindo os valores de a,b chegamos a

(y+2)222(x2)232=1

Agora é transformar na equação geral...

(y+2)24(x2)29=1

y2+4y+44x24x+49=1

9y2+36y+364x2+16x16=36

4x2+9y2+16x+36y16=0

4x29y216x36y+16=0


Hipérbole

 


Dados dois pontos distintos numa reta, F1 e F2 Uma hipérbole será o lugar geométrico dos pontos cuja diferença das distâncias em valor absoluto é constante e menor que a distância entre F1 e F2.


Começamos com a hipérbole centrada na origem com focos sobre o eixo x


Para facilitar a construção sempre que desejar, pode-se iniciar com o desenho da hipérbole. Trace os eixos cartesianos e desenhe os dois ramos da hipérbole nele. Marque então os vértices V1 e V2. A exemplo do que fizemos na elipse, chamamos V1V2 de 2a. Bom começo! Marcamos então os focos F1 e F2. Pegamos o segmento (0,0) a F2 e puxamos para cima a partir da origem, fazendo com que, imaginando, sua outra extremidade se arraste até o ponto V2. Temos então o nosso triângulo retângulo. O cateto b sempre é perpendicular a V1V2, logo, resta concluir que, desta vez, nossa hipotenusa será c e teremos c2=a2+b2. Esta é uma historinha básica para conduzir à construção da hipérbole. Agora, podemos também desenhar o retângulo que dará suporte às assintotas.


A partir do desenho, podemos deduzir as coisas e prosseguir.


Temos então que:


a,b,c>0


c2=a2+b2


F1(c,0)


F2(c,0)


Comecemos, pela definição.

  

|PF1PF2|=V1V2=2a


Por conta do módulo, dizemos que PF1PF2=±2a


Assim, podemos prosseguir...


(x+c)2+y2(xc)2+y2=±2a


(x+c)2+y2=±2a+(xc)2+y2


Elevamos ao quadrado...


(x+c)2+y2=4a2±4a(xc)2+y2+(xc)2+y2


x2+2cx+c2+y2=4a2+x22cx+c2+y2±4a(xc)2+y2


x2+2cx+c2+y2=4a2+x22cx+c2+y2±4a(xc)2+y2


4cx=4a2±4a(xc)2+y2


a2cx=±a(xc)2+y2


a42ca2x+c2x2=a2(x22cx+c2+y2)


a42ca2x+c2x2=a2x22ca2x+a2c2+a2y2


a42ca2x+c2x2=a2x22ca2x+a2c2+a2y2


a4=x2(a2c2)b2+a2y2+a2c2


a4a2c2=b2x2+a2y2


a2(a2c2)b2=b2x2+a2y2


a2b2=b2x2+a2y2


a2b2=b2x2a2y2


O que fazemos agora é dividir tudo por a2b2 e chegamos a:


x2a2y2b2=1


Se deslocarmos o centro da elipse do ponto (0,0) para o ponto (h,q) teremos:


(xh)2a2(yq)2b2=1


Para a elipse de eixo V1V2 sobre o eixo y basta invertermos o x pelo y, e teremos:


y2a2x2b2=1


E, por fim, se deslocarmos esta elipse para o centro (h,q) chegaremos a:


(yq)2a2(xh)2b2=1

O esquema de cinco números (Tukey, 1977) e seu desenho esquemático.

Este é um modelo de representação de um conjunto de dados. Então, foram selecionados a quantidade n de dados, o valor central, ou seja, a ...