A parábola enquanto cônica

 

No caso da parábola, enquanto lugar geométrico da família das cônicas, dado um ponto $F$ e uma reta $r$, ela é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de $F$ (foco da parábola) e a reta $r$, chamada de reta diretriz da parábola.

Vamos iniciar nossa historinha desenhando uma parábola de vértice na origem e foco sobre o eixo $x$. A distância do foco até a origem, por onde passa a parábola, deve ser igual à distância da origem até a reta $r$. Logo, podemos já localizar a nossa reta $r$, perpendicular ao eixo $y$. Daí, chamamos à distância da origem ao foco de $c$, logo a distância da origem até a reta é também igual a $c$.

Já podemos determinar alguns parâmetros:

$c>0$

A reta será $r:x=-c$

$F(c,0)$

Agora, marcamos um ponto $P(x,y)$ qualquer sobre a parábola para, conforme a definição, desenvolvermos a equação do lugar geométrico.

Teremos então:

$d(P,F)=d(P,r)\Rightarrow$

$\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}=x+c\Rightarrow$

$x^2-2cx+c^2+y^2=x^2+2cx+c^2\Rightarrow$

$\cancel{x^2}-2cx+\cancel{c^2}+y^2=\cancel{x^2}+2cx+\cancel{c^2}\Rightarrow$

$$y^2=4cx$$

Eis então a equação!

Para deslocar esta equação para o centro $(h,q)$, fazemos:

$$(y-q{)}^2=4c(x-h)$$

Para inverter o gráfico, fazemos:

$$y^2=-4cx$$

E para deslocar este último gráfico ao centro $(h,q)$, fazemos:

$$(y-q{)}^2=-4c(x-h)$$

Por outro lado, para colocarmos o foco da parábola no eixo $y$, basta invertermos as variáveis:

Tomamos a equação $y^2=4cx$ e fazemos:

$$x^2=4cy$$

Neste caso, a concavidade é para cima.

Para deslocarmos o vértice para o ponto $(h,q)$, fazemos

$$(x-h{)}^2=4c(y-q)$$

Para invertermos a concavidade, temos:

$$x^2=-4cy$$

E, por fim, para deslocarmos o vértice ao ponto $(h,q)$, fazemos:

$$(x-h{)}^2=-4c(y-q)$$

Hipérbole

 

Dados dois pontos distintos numa reta, $F_1$ e $F_2$ Uma hipérbole será o lugar geométrico dos pontos cuja diferença das distâncias em valor absoluto é constante e menor que a distância entre $F_1$ e $F_2$.

Começamos com a hipérbole centrada na origem com focos sobre o eixo $x$. 

Para facilitar a construção sempre que desejar, pode-se iniciar com o desenho da hipérbole. Trace os eixos cartesianos e desenhe os dois ramos da hipérbole nele. Marque então os vértices $V_1$ e $V_2$. A exemplo do que fizemos na elipse, chamamos $V_1{V}_2$ de $2a$. Bom começo! Marcamos então os focos $F_1$ e $F_2$. Pegamos o segmento $(0,0)$ a $F_2$ e puxamos para cima a partir da origem, fazendo com que, imaginando, sua outra extremidade se arraste até o ponto $V_2$. Temos então o nosso triângulo retângulo. O cateto $b$ sempre é perpendicular a $V_1{V}_2$, logo, resta concluir que, desta vez, nossa hipotenusa será $c$ e teremos $c^2=a^2+b^2$. Esta é uma historinha básica para conduzir à construção da hipérbole. Agora, podemos também desenhar o retângulo que dará suporte às assintotas.

A partir do desenho, podemos deduzir as coisas e prosseguir.

Temos então que:

$a,b,c>0$

$c^2=a^2+b^2$

$F_1(-c,0)$

$F_2(c,0)$

Comecemos, pela definição.

  

$|P{F}_1-P{F}_2|=V_1{V}_2=2a$

Por conta do módulo, dizemos que $P{F}_1-P{F}_2=\pm 2a$

Assim, podemos prosseguir...

$\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}-\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}=\pm 2a\Rightarrow$

$\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}=\pm 2a+\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}\Rightarrow$

Elevamos ao quadrado...

$(x+c{)}^2+y^2=4a^2\pm 4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}+(x-c{)}^2+y^2\Rightarrow$

$x^2+2cx+c^2+y^2=4a^2+x^2-2cx+c^2+y^2\pm 4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}\Rightarrow$

$\cancel{x^2}+2cx+\cancel{c^2}+\cancel{y^2}=4a^2+\cancel{x^2}-2cx+\cancel{c^2}+\cancel{y^2}\pm 4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}\Rightarrow$

$4cx=4a^2\pm 4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}\Rightarrow$

$a^2-cx=\pm a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}\Rightarrow$

$a^4-2c{a}^{2}x+c^2{x}^2=a^2(x^2-2cx+c^2+y^2)\Rightarrow$

$a^4-2c{a}^{2}x+c^2{x}^2=a^2{x}^2-2c{a}^{2}x+a^2{c}^2+a^2{y}^2\Rightarrow$

$a^4\cancel{-2c{a}^{2}x}+c^2{x}^2=a^2{x}^2\cancel{-2c{a}^{2}x}+a^2{c}^2+a^2{y}^2\Rightarrow$

$a^4=x^2\underset{-b^2}{\underbrace{(a^2-c^2)}}+a^2{y}^2+a^2{c}^2\Rightarrow$

$a^4-a^2{c}^2=-b^2{x}^2+a^2{y}^2\Rightarrow$

$a^2\underset{-b^2}{\underbrace{(a^2-c^2)}}=b^2{x}^2+a^2{y}^2\Rightarrow$

$-a^2{b}^2=-b^2{x}^2+a^2{y}^2$

$a^2{b}^2=b^2{x}^2-a^2{y}^2$

O que fazemos agora é dividir tudo por $a^2{b}^2$ e chegamos a:

$${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$$

Se deslocarmos o centro da elipse do ponto $(0,0)$ para o ponto $(h,q)$ teremos:

$${\displaystyle \frac{(x-h{)}^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{(y-q{)}^2}{b^2}}=1$$

Para a elipse de eixo $V_1{V}_2$ sobre o eixo $y$ basta invertermos o $x$ pelo $y$, e teremos:

$${\displaystyle \frac{y^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{x^2}{b^2}}=1$$

E, por fim, se deslocarmos esta elipse para o centro $(h,q)$ chegaremos a:

$${\displaystyle \frac{(y-q{)}^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{(x-h{)}^2}{b^2}}=1$$

Elipse

 

Dados dois pontos $F_1$ e $F_2$ no plano, chamamos de Elipse o lugar geométrico dos pontos $P$ cuja soma das distâncias $P{F}_1+P{F}_2$ é constante e diferente da distância $F_1{F}_2$.

Começemos pela elipse centrada na origem com $V_1{V}_2$ sobre o eixo $x$.

Uma dica pra facilitar a construção da elipse é usar o ponto $V_2$ como suporte para concluir, conforme a definição, que $F_1{V}_2+F_2{V}_2=V_1{V}_2$. Assim, começa nossa historinha! Ao segmento $V_1{V}_2$ a gente chama de $2a$. Começamos por aqui. Logo, da origem $(0,0)$ a $V_2$ temos $a$. Então, imaginamos elevando o segmento $a$ a partir da origem até o ponto da elipse no eixo $y$, fazendo com que a sua outra estremidade se arraste até o ponto $F_2$ e chegamos à figurinha do triângulo retângulo. Nesta figura, $b$ sempre é o cateto perpendicular a $V_1{V}_2$. Já conseguimos, então, enxergar um triângulo retânculo, só falta dar nome ao outro cateto. Assim, por último, chamamos o segmento da origem até $F_2$ de $c$. Temos, então, um triângulo retângulo com $a^2=b^2+c^2$.

A partir desta construção inicial, podemos prosseguir, ora deduzindo, ora nos lembrando dos elementos da figura.

Dados: 

$F_1{F}_2=2c$

$V_1{V}_2=2a$

$a^2=b^2+c^2$

Construção

$P{F}_1+P{F}_2=V_1{V}_2=2a$

Dados:

$a,b,c>0$

Pontos:

$F_1(-c,0)$

$F_2(c,0)$

$P(x,y)$

$P{F}_1+P{F}_2=2a\Rightarrow$

$\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}=2a\Rightarrow$ 

$\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}\Rightarrow$

Elevando ao quadrado ambos os membros, teremos:

$(x+c{)}^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}+(x-c{)}^2+y^2\Rightarrow$

$x^2+2cx+c^2+y^2=4a^2+x^2-2cx+c^2+y^2-4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}\Rightarrow$

$\cancel{x^2}+2cx+\cancel{c^2}+\cancel{y^2}=4a^2+\cancel{x^2}-2cx+\cancel{c^2}+\cancel{y^2}-4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}\Rightarrow$

$4cx=4a^2-4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}\Rightarrow$

$cx=a^2-a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}\Rightarrow$

$a^2-cx=a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}\Rightarrow$

$a^4-2c{a}^{2}x+c^2{x}^2=a^2(x^2-2cx+c^2+y^2)\Rightarrow$

$a^4-2c{a}^{2}x+c^2{x}^2=a^2{x}^2-2c{a}^{2}x+a^2{c}^2+a^2{y}^2\Rightarrow$

$a^4\cancel{-2c{a}^{2}x}+c^2{x}^2=a^2{x}^2\cancel{-2c{a}^{2}x}+a^2{c}^2+a^2{y}^2\Rightarrow$

$a^4=x^2\underset{b^2}{\underbrace{(a^2-c^2)}}+a^2{y}^2+a^2{c}^2\Rightarrow$

$a^4-a^2{c}^2=b^2{x}^2+a^2{y}^2\Rightarrow$

$a^2\underset{b^2}{\underbrace{(a^2-c^2)}}=b^2{x}^2+a^2{y}^2\Rightarrow$

$a^2{b}^2=b^2{x}^2+a^2{y}^2$

O que fazemos agora é dividir tudo por $a^2{b}^2$ e chegamos a:

$${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$$

Se deslocarmos o centro da elipse do ponto $(0,0)$ para o ponto $(h,q)$ teremos:

$${\displaystyle \frac{(x-h{)}^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{(y-q{)}^2}{b^2}}=1$$

Para a elipse de eixo $V_1{V}_2$ sobre o eixo $y$ basta invertermos o $x$ pelo $y$, e teremos:

$${\displaystyle \frac{y^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{x^2}{b^2}}=1$$

E, por fim, se deslocarmos esta elipse para o centro $(h,q)$ chegaremos a:

$${\displaystyle \frac{(y-q{)}^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{(x-h{)}^2}{b^2}}=1$$

Equação reduzida e equação geral da circunferência

A circunferência é o lugar geométrico dos pontos equidistantes a um único ponto dado.

Vamos iniciar com a circunferência no centro do eixo cartesiano. Então, a equação que determina todos os seus pontos é dedutível via Teorema de Pitágoras, em que $x^2+y^2=r^2$, onde $r$ é o raio da circunferência.

Para termos a equação da circunferência cujo centro é o ponto $(a,b)$, basta deslocarmos a equação do lugar geométrico no centro $(0,0)$ para o centro $(a,b)$ e teremos:

$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$$

Esta equação que é deduzida via Teorema de Pitágoras é chamada de equação reduzida da circunferência.

Se desenvolvemos esta expressão, vamos chegar à equação geral da circunferência. Vamos lá!

$$x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2=r^2$$

Logo, a equação geral da circunferência será:

$$x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0$$

 

Nos últimos dez anos, a população de uma cidade vem aumentando anualmente em progressão aritmética. Em 1996, último ano do período de dez anos, constatou-se que o número de habitantes era 10% maior que no ano anterior. Pode-se concluir que, dentro desses dez anos, a população dessa cidade aumentou em

 Nos últimos dez anos, a população de uma cidade vem aumentando anualmente em progressão aritmética. Em 1996, último ano do período de dez anos, constatou-se que o número de habitantes era 10% maior que no ano anterior. Pode-se concluir que, dentro desses dez anos, a população dessa cidade aumentou em...

De 1995 para 1996 houve aumento de 10%. Logo, podemos concluir que $P_{96}=1,1P_{95}$. Assim, a razão de nossa PA será $r=1,1P_{95}-P_{95}=0,1P_{95}$.

Agora, como são 10 anos, teremos que nosso período será de 1987 a 1996.

Então, teremos 

$$a_{10}=a_1+9r\Rightarrow 1,1P_{95}=a_1+9\cdot 0,1P_{95}$$

Ou seja, $a_1 = 0,2P_{95}

Desta forma, 

$$a_1(1+i)=P_{96}=1,1P_{95}\Rightarrow 1+i={\displaystyle \frac{1,1P_{95}}{0,2P_{95}}}$$

O que nos leva a concluir que nossa taxa de crescimento $i$ será:

$$i={\displaystyle \frac{1,1}{0,2}}-1=4,5$$

Ou, ainda, $i=450$

mediana, decil e intervalo interquartil.

Considere a seguinte tabela de dados.

a) mediana            b) 1º decil             c) intervalo interquartil

a) A mediana é o valor central dos dados. Entretanto, quando estes dados estão organizados em classes, temos de fazer uma proporção na classe onde a mediana se encontra, para determiná-la, digamos, com precisão.

Então, como a mediana encontra-se na classe de 50 até antes de 55 Salários Mínimos (SM), temos que $55-50$ correspondem a 35% dos dados. Entretanto, nós necessitamos encontrar o valor que corresponde a 10%. 

Teremos então uma regrinha de três:

$$55-50\to 35\mathrm{\%}$$

$$x\to 10\mathrm{\%}$$

Logo, teremos $x={\displaystyle \frac{10\cdot 5}{35}}={\displaystyle \frac{50}{35}}=1,43$

Portanto, nossa mediana será $Md=50+1,43=51,43$

b) Vamos agora determinar o 1º decil. Vamos aproveitar para realizar uma abordagem apenas um pouco diferente. Vamos lá! A classe que contém o decil é a 3ª (40 a 45), cuja participação nos dados é de 15%. A porcentagem que falta é 4%, já que a frequência até a 2ª classe é 6%. Então, podemos encontrar, inicialmente a razão ${\displaystyle \frac{4}{15}}$ que mede a participação de 4% em 15%. A partir daí, fazemos $x=5\cdot {\displaystyle \frac{4}{15}}$ e encontramos $x=1,33$. Portanto, o nosso 1º decil será $40+1,33=41,33$

c) Vamos agora encontrar o intervalo interquartil. Este intervalo é definido como a diferença entre o 3ª quartil e o 1º quartil ($J3-J1$). 

Comecemos $J1$, que é o 1ª quartil (25%). A classe é a de 45 a 50 e precisamos obter, nesta classe, a que 10% corresponde na sequência de dados. Façamos por regra de três, então:

$$50-45\to 40\mathrm{\%}$$

$$x\to 10\mathrm{\%}$$

Teremos então que $x={\displaystyle \frac{10\cdot 5}{40}}=1,25$. Assim, $J1=45+1,25=46,25$

Vamos ao 3º quartil ($J3$). Apesar de estar claro na tabela, vamos fazer ingenuamente, e por razão. Temos que o 3º quartil está na classe que vai de 50 a 55. Nela temos 35%. E necessitamos andar exatamente 35% a partir dos 40%, logo fazemos $x={\displaystyle \frac{35}{35}}\cdot 5=5$. Assim $J3=50+5=55$.

O intervalo interquartil será, então, $55-46,25=8,75$