Para analisarmos as possibilidades das posições relativas de duas circunferências num mesmo plano, podemos pensar assim: dadas duas circunferências, elas podem ter raios iguais ou diferentes. Suponhamos, inicialmente que tenham raios distintos. Sem perda de generalidade, consideremos a posição da circunferência de menor raio à direita. Teremos então a circunferência maior de raio $r_1$ e a menor de raio $r_2$, com $r_1>r_2$.
Podemos iniciar nossa análise, separando situações bem determinadas.
Vamos, então, considerar, inicialmente, que a distância entre seus centros seja maior que a soma dos seus raios.
Podemos concluir que estas circunferências não terão nenhum ponto em comum.
$$d > r_1 + r_2$$
Uma segunda situação bem definida seria aquela na qual a distância entre os centros é igual à soma dos raios.
Neste caso, as circunferências serão tangentes e exteriores, ou seja, terão um único ponto em comum, além de serem exteriores.
$$d = r_1 + r_2$$
Uma terceira situação seria colocar a circunferência menor para o interior da maior, na situação em que a diferença entre os raios é igual à distância entre os centros.
Neste caso, temos um único ponto em comum (tangência), sendo uma circunferência interior à outra.
$$d=r_1 - r_2 $$
Podemos ainda considerar a circunferência menor interna à circunferência maior sem qualquer ponto em comum.
Nesta circunstância, podemos traçar um raio da circunferência maior que passa pelos dois centros das circunferências. Nesta situação, teremos
$$r_1 > d + r_2 \Rightarrow r_1 - r_2 > d \Rightarrow d < r_1 - r_2$$
Caso as circunferências sejam concêntricas, teremos $d = 0$.
Restam ainda algumas situações a considerarmos. Vamos considerar, inicialmente, a situação em que a circunferência menor apresenta centro externo à maior com dois pontos em comum (secantes).
Podemos notar que $r_1 < d$, pois o centro da circunferência menor é externo e, ainda, $d < r_1 + r_2$. Assim, elas são secantes.
Uma situação intermediária seria a que o centro da circunferência menor está na borda da circunferência maior.
Neste caso, $r_1 = d $, logo, $d < r_1 + r_2$, e as circunferências serão secantes. Podemos notar ainda que se $r_1 = d$ então $r_1 - r_2 < d$.
A terceira situação é considerarmos o centro da circunferência menor interior à circunferência maior, ainda com dois pontos em comum (secantes).
Nesta situação, $d < r_1$ e, além disto, podemos formar um triângulo com os raios e o segmento entre os centros. Podemos concluir, por esta construção, que
$$r_1 < d + r_2 \Rightarrow r_1 - r_2 < d$$
Nesta nossa análise, podemos resumir a situação de circunferências secantes da seguinte forma. Sem analisarmos a posição do centro da circunferência menor, podemos notar que não é suficiente a informação de que $d < r_1 + r_2$ pois podemos ter, nesta circunstância, $d < r_1 - r_2$, ou seja, circunferência interior sem pontos em comum.
Podemos concluir, então, que a condição para que as duas circunferências sejam secantes é dupla, conforme já visto antes, ou seja,
$$r_1 - r_2 < d < r_1 + e_2$$
A outra condição que separamos foi a de as circunferências terem raios iguais. Nesta sitaução, a única mudança é a possibilidade de as circunferências coincidirem totalmente. Nas demais situações, as conclusões são as mesmas.
Podemos, por fim, resumir nossa discussão assim:
$d > r_1 + r_2 \Rightarrow$ Circunferências exteriores disjuntas;
$d = r_1 + r_2 \Rightarrow$ Circunferências exteriores tangentes;
$r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2 \Rightarrow$ Circunferências secantes;
$d = r_1 - r_2 \Rightarrow$ Circunferência interior tangente;
$d< r_1 - r_2 \Rightarrow$ Circunferência interior disjunta.
