A parábola enquanto cônica

 

No caso da parábola, enquanto lugar geométrico da família das cônicas, dado um ponto $F$ e uma reta $r$, ela é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de $F$ (foco da parábola) e a reta $r$, chamada de reta diretriz da parábola.

Vamos iniciar nossa historinha desenhando uma parábola de vértice na origem e foco sobre o eixo $x$. A distância do foco até a origem, por onde passa a parábola, deve ser igual à distância da origem até a reta $r$. Logo, podemos já localizar a nossa reta $r$, perpendicular ao eixo $y$. Daí, chamamos à distância da origem ao foco de $c$, logo a distância da origem até a reta é também igual a $c$.

Já podemos determinar alguns parâmetros:

$c > 0$

A reta será $r: x = -c$

$F(c,0)$

Agora, marcamos um ponto $P(x,y)$ qualquer sobre a parábola para, conforme a definição, desenvolvermos a equação do lugar geométrico.

Teremos então:

$d(P,F) = d(P,r) \Rightarrow$

$\sqrt{(x-c)^2 + y^2} = x + c \Rightarrow$

$x^2 -2cx + c^2 + y^2 = x^2 + 2cx + c^2 \Rightarrow $

$\cancel{x^2} -2cx + \cancel{c^2} + y^2 = \cancel{x^2} + 2cx + \cancel{c^2} \Rightarrow $

$$y^2 = 4cx$$

Eis então a equação!

Para deslocar esta equação para o centro $(h,q)$, fazemos:

$$(y-q)^2 = 4c(x-h)$$

Para inverter o gráfico, fazemos:

$$y^2 = -4cx$$

E para deslocar este último gráfico ao centro $(h,q)$, fazemos:

$$(y-q)^2 = -4c(x-h)$$

Por outro lado, para colocarmos o foco da parábola no eixo $y$, basta invertermos as variáveis:

Tomamos a equação $y^2 = 4cx$ e fazemos:

$$x^2 = 4cy$$

Neste caso, a concavidade é para cima.

Para deslocarmos o vértice para o ponto $(h,q)$, fazemos

$$(x-h)^2 = 4c(y-q)$$

Para invertermos a concavidade, temos:

$$x^2 = -4cy$$

E, por fim, para deslocarmos o vértice ao ponto $(h,q)$, fazemos:

$$(x-h)^2 = -4c(y-q)$$

Hipérbole

 

Dados dois pontos distintos numa reta, $F_1$ e $F_2$ Uma hipérbole será o lugar geométrico dos pontos cuja diferença das distâncias em valor absoluto é constante e menor que a distância entre $F_1$ e $F_2$.

Começamos com a hipérbole centrada na origem com focos sobre o eixo $x$. 

Para facilitar a construção sempre que desejar, pode-se iniciar com o desenho da hipérbole. Trace os eixos cartesianos e desenhe os dois ramos da hipérbole nele. Marque então os vértices $V_1$ e $V_2$. A exemplo do que fizemos na elipse, chamamos $V_1V_2$ de $2a$. Bom começo! Marcamos então os focos $F_1$ e $F_2$. Pegamos o segmento $(0,0)$ a $F_2$ e puxamos para cima a partir da origem, fazendo com que, imaginando, sua outra extremidade se arraste até o ponto $V_2$. Temos então o nosso triângulo retângulo. O cateto $b$ sempre é perpendicular a $V_1V_2$, logo, resta concluir que, desta vez, nossa hipotenusa será $c$ e teremos $c^2 = a^2 + b^2$. Esta é uma historinha básica para conduzir à construção da hipérbole. Agora, podemos também desenhar o retângulo que dará suporte às assintotas.

A partir do desenho, podemos deduzir as coisas e prosseguir.

Temos então que:

$a,b,c > 0$

$c^2 = a^2 + b^2$

$F_1(-c,0)$

$F_2(c,0)$

Comecemos, pela definição.

  

$|PF_1 - PF_2| = V_1V_2 = 2a$

Por conta do módulo, dizemos que $PF_1 - PF_2 = \pm 2a$

Assim, podemos prosseguir...

$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} - \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = \pm 2a \Rightarrow$

$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} = \pm 2a + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} \Rightarrow$

Elevamos ao quadrado...

$(x+c)^2 + y^2 = 4a^2 \pm 4a\sqrt{(x-c)^2 + y^2} + (x-c)^2 + y^2 \Rightarrow$

$x^2 + 2cx + c^2 + y^2 = 4a^2 + x^2 -2cx + c^2 + y^2 \pm 4a\sqrt{(x-c)^2 + y^2} \Rightarrow$

$\cancel{x^2} + 2cx + \cancel{c^2} + \cancel{y^2} = 4a^2 + \cancel{x^2} -2cx + \cancel{c^2} + \cancel{y^2} \pm4a\sqrt{(x-c)^2 + y^2} \Rightarrow$

$4cx = 4a^2 \pm 4a\sqrt{(x-c)^2 + y^2} \Rightarrow $

$a^2 - cx = \pm a\sqrt{(x-c)^2 + y^2} \Rightarrow $

$a^4 -2ca^2x + c^2x^2 = a^2(x^2 - 2cx + c^2 + y^2)\Rightarrow$

$a^4 -2ca^2x + c^2x^2 = a^2x^2 -2ca^2x + a^2c^2 + a^2y^2\Rightarrow$

$a^4 \cancel{-2ca^2x} + c^2x^2 = a^2x^2 \cancel{-2ca^2x} + a^2c^2 + a^2y^2\Rightarrow$

$a^4 = x^2\underbrace{(a^2 - c^2)}_{-b^2} + a^2y^2 + a^2c^2 \Rightarrow$

$a^4 - a^2c^2 = -b^2x^2 + a^2y^2 \Rightarrow$

$a^2\underbrace{(a^2 - c^2)}_{-b^2} = b^2x^2 + a^2y^2 \Rightarrow$

$-a^2b^2 = -b^2x^2 + a^2y^2$

$a^2b^2 = b^2x^2 - a^2y^2$

O que fazemos agora é dividir tudo por $a^2b^2$ e chegamos a:

$$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$

Se deslocarmos o centro da elipse do ponto $(0,0)$ para o ponto $(h,q)$ teremos:

$$\dfrac{(x-h)^2}{a^2} - \dfrac{(y-q)^2}{b^2} = 1$$

Para a elipse de eixo $V_1V_2$ sobre o eixo $y$ basta invertermos o $x$ pelo $y$, e teremos:

$$\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1$$

E, por fim, se deslocarmos esta elipse para o centro $(h,q)$ chegaremos a:

$$\dfrac{(y-q)^2}{a^2} - \dfrac{(x-h)^2}{b^2} = 1$$

Elipse

 

Dados dois pontos $F_1$ e $F_2$ no plano, chamamos de Elipse o lugar geométrico dos pontos $P$ cuja soma das distâncias $PF_1 + PF_2$ é constante e diferente da distância $F_1F_2$.

Começemos pela elipse centrada na origem com $V_1V_2$ sobre o eixo $x$.

Uma dica pra facilitar a construção da elipse é usar o ponto $V_2$ como suporte para concluir, conforme a definição, que $F_1V_2 + F_2V_2=V_1V_2$. Assim, começa nossa historinha! Ao segmento $V_1V_2$ a gente chama de $2a$. Começamos por aqui. Logo, da origem $(0,0)$ a $V_2$ temos $a$. Então, imaginamos elevando o segmento $a$ a partir da origem até o ponto da elipse no eixo $y$, fazendo com que a sua outra estremidade se arraste até o ponto $F_2$ e chegamos à figurinha do triângulo retângulo. Nesta figura, $b$ sempre é o cateto perpendicular a $V_1V_2$. Já conseguimos, então, enxergar um triângulo retânculo, só falta dar nome ao outro cateto. Assim, por último, chamamos o segmento da origem até $F_2$ de $c$. Temos, então, um triângulo retângulo com $a^2 = b^2 + c^2$.

A partir desta construção inicial, podemos prosseguir, ora deduzindo, ora nos lembrando dos elementos da figura.

Dados: 

$F_1F_2 = 2c$

$V_1V_2 = 2a$

$a^2 = b^2 + c^2$

Construção

$PF_1 + PF_2 = V_1V_2 = 2a$

Dados:

$a,b,c>0$

Pontos:

$F_1(-c,0)$

$F_2(c,0)$

$P(x,y)$

$PF_1 + PF_2 = 2a \Rightarrow$

$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a \Rightarrow$ 

$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x-c)^2 + y^2} \Rightarrow$

Elevando ao quadrado ambos os membros, teremos:

$(x+c)^2 + y^2 = 4a^2 -4a\sqrt{(x-c)^2 + y^2} + (x-c)^2 + y^2 \Rightarrow$

$x^2 + 2cx + c^2 + y^2 = 4a^2 + x^2 -2cx + c^2 + y^2 -4a\sqrt{(x-c)^2 + y^2} \Rightarrow$

$\cancel{x^2} + 2cx + \cancel{c^2} + \cancel{y^2} = 4a^2 + \cancel{x^2} -2cx + \cancel{c^2} + \cancel{y^2} -4a\sqrt{(x-c)^2 + y^2} \Rightarrow$

$4cx = 4a^2 -4a\sqrt{(x-c)^2 + y^2} \Rightarrow $

$cx = a^2 -a\sqrt{(x-c)^2 + y^2} \Rightarrow  $

$a^2 - cx = a\sqrt{(x-c)^2 + y^2} \Rightarrow $

$a^4 -2ca^2x + c^2x^2 = a^2(x^2 - 2cx + c^2 + y^2)\Rightarrow$

$a^4 -2ca^2x + c^2x^2 = a^2x^2 -2ca^2x + a^2c^2 + a^2y^2\Rightarrow$

$a^4 \cancel{-2ca^2x} + c^2x^2 = a^2x^2 \cancel{-2ca^2x} + a^2c^2 + a^2y^2\Rightarrow$

$a^4 = x^2\underbrace{(a^2 - c^2)}_{b^2} + a^2y^2 + a^2c^2 \Rightarrow$

$a^4 - a^2c^2 = b^2x^2 + a^2y^2 \Rightarrow$

$a^2\underbrace{(a^2 - c^2)}_{b^2} = b^2x^2 + a^2y^2 \Rightarrow$

$a^2b^2 = b^2x^2 + a^2y^2$

O que fazemos agora é dividir tudo por $a^2b^2$ e chegamos a:

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$

Se deslocarmos o centro da elipse do ponto $(0,0)$ para o ponto $(h,q)$ teremos:

$$\dfrac{(x-h)^2}{a^2} + \dfrac{(y-q)^2}{b^2} = 1$$

Para a elipse de eixo $V_1V_2$ sobre o eixo $y$ basta invertermos o $x$ pelo $y$, e teremos:

$$\dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2} = 1$$

E, por fim, se deslocarmos esta elipse para o centro $(h,q)$ chegaremos a:

$$\dfrac{(y-q)^2}{a^2} + \dfrac{(x-h)^2}{b^2} = 1$$

Equação reduzida e equação geral da circunferência

A circunferência é o lugar geométrico dos pontos equidistantes a um único ponto dado.

Vamos iniciar com a circunferência no centro do eixo cartesiano. Então, a equação que determina todos os seus pontos é dedutível via Teorema de Pitágoras, em que $x^2 + y^2 = r^2$, onde $r$ é o raio da circunferência.

Para termos a equação da circunferência cujo centro é o ponto $(a,b)$, basta deslocarmos a equação do lugar geométrico no centro $(0,0)$ para o centro $(a,b)$ e teremos:

$$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$

Esta equação que é deduzida via Teorema de Pitágoras é chamada de equação reduzida da circunferência.

Se desenvolvemos esta expressão, vamos chegar à equação geral da circunferência. Vamos lá!

$$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2$$

Logo, a equação geral da circunferência será:

$$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 -r^2 = 0$$

 

Nos últimos dez anos, a população de uma cidade vem aumentando anualmente em progressão aritmética. Em 1996, último ano do período de dez anos, constatou-se que o número de habitantes era 10% maior que no ano anterior. Pode-se concluir que, dentro desses dez anos, a população dessa cidade aumentou em

 Nos últimos dez anos, a população de uma cidade vem aumentando anualmente em progressão aritmética. Em 1996, último ano do período de dez anos, constatou-se que o número de habitantes era 10% maior que no ano anterior. Pode-se concluir que, dentro desses dez anos, a população dessa cidade aumentou em...

De 1995 para 1996 houve aumento de 10%. Logo, podemos concluir que $P_{96} = 1,1P_{95}$. Assim, a razão de nossa PA será $r = 1,1P_{95} - P_{95} = 0,1P_{95}$.

Agora, como são 10 anos, teremos que nosso período será de 1987 a 1996.

Então, teremos 

$$a_{10} = a_1 + 9r \Rightarrow 1,1P_{95} = a_1 + 9 \cdot 0,1P_{95}$$

Ou seja, $a_1 = 0,2P_{95}

Desta forma, 

$$a_1(1 + i) = P_{96}=1,1P_{95} \Rightarrow 1 + i =  \dfrac{1,1P_{95}} {0,2P_{95}}$$

O que nos leva a concluir que nossa taxa de crescimento $i$ será:

$$i = \dfrac{1,1}{0,2} -1 = 4,5$$

Ou, ainda, $i = 450%$

mediana, decil e intervalo interquartil.

Considere a seguinte tabela de dados.

a) mediana            b) 1º decil             c) intervalo interquartil

a) A mediana é o valor central dos dados. Entretanto, quando estes dados estão organizados em classes, temos de fazer uma proporção na classe onde a mediana se encontra, para determiná-la, digamos, com precisão.

Então, como a mediana encontra-se na classe de 50 até antes de 55 Salários Mínimos (SM), temos que $55 - 50$ correspondem a 35% dos dados. Entretanto, nós necessitamos encontrar o valor que corresponde a 10%. 

Teremos então uma regrinha de três:

$$55 - 50 \rightarrow 35\%$$

$$x \rightarrow 10\% $$

Logo, teremos $x = \dfrac{10 \cdot 5}{35} = \dfrac{50}{35} = 1,43$

Portanto, nossa mediana será $Md = 50 + 1,43 = 51,43$

b) Vamos agora determinar o 1º decil. Vamos aproveitar para realizar uma abordagem apenas um pouco diferente. Vamos lá! A classe que contém o decil é a 3ª (40 a 45), cuja participação nos dados é de 15%. A porcentagem que falta é 4%, já que a frequência até a 2ª classe é 6%. Então, podemos encontrar, inicialmente a razão $\dfrac{4}{15}$ que mede a participação de 4% em 15%. A partir daí, fazemos $x = 5 \cdot \dfrac{4}{15}$ e encontramos $x = 1,33$. Portanto, o nosso 1º decil será $40 + 1,33 = 41,33$

c) Vamos agora encontrar o intervalo interquartil. Este intervalo é definido como a diferença entre o 3ª quartil e o 1º quartil ($J3 - J1$). 

Comecemos $J1$, que é o 1ª quartil (25%). A classe é a de 45 a 50 e precisamos obter, nesta classe, a que 10% corresponde na sequência de dados. Façamos por regra de três, então:

$$ 50 - 45 \rightarrow 40\%$$

$$x \rightarrow 10\%$$

Teremos então que $x = \dfrac{10 \cdot 5}{40} = 1,25$. Assim, $J1 = 45 + 1,25 = 46,25$

Vamos ao 3º quartil ($J3$). Apesar de estar claro na tabela, vamos fazer ingenuamente, e por razão. Temos que o 3º quartil está na classe que vai de 50 a 55. Nela temos 35%. E necessitamos andar exatamente 35% a partir dos 40%, logo fazemos $x = \dfrac{35}{35} \cdot 5 = 5$. Assim $J3 = 50 + 5 = 55$.

O intervalo interquartil será, então, $ 55 - 46,25 = 8,75$